11. Sınıf Matematik SDR Yayınları Cevapları Sayfa 209

 11. Sınıf Matematik SDR Yayınları Cevapları Sayfa 209

1. Soru:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-5x+6<0\\ x+1\ge 0\end{array}$$

Çözüm:

• İlk eşitsizliği çözelim:
  $x^2-5x+6<0$
  Çarpanlara ayıralım:
  $(x-2)(x-3)<0$

Bir çarpımın negatif olması için çarpanların işaretleri farklı olmalı.
Buna göre:
$2<x<3$

• İkinci eşitsizlik:
  $x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -1$

• İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesi:
  $2<x<3$ ve $x\ge -1$
  Burada $2<x<3$ zaten $x\ge -1$ koşulunu sağlıyor.
  Sonuç:

$$\boxed{{\displaystyle (2,3)}}$$

---

2. Soru:

$$\{\begin{array}{l}(x^2-9)\cdot (5-x)>0\\ -x^2+x+2\le 0\end{array}$$

Çözüm:

• İlk eşitsizlik:
  $(x^2-9)(5-x)>0$
  $x^2-9=(x-3)(x+3)$
  Yani:
  $(x-3)(x+3)(5-x)>0$

Kökler: $-3,3,5$
İşaret tablosu yapalım:

• Aralıklar: $(-\mathrm{\infty },-3),(-3,3),(3,5),(5,\mathrm{\infty })$

• İşaretler:

  • $(x-3)$: negatif, negatif, pozitif, pozitif
  • $(x+3)$: negatif, pozitif, pozitif, pozitif
  • $(5-x)$: pozitif, pozitif, pozitif, negatif

Çarpımın işaretini bulalım:

Aralık	(x-3)	(x+3)	(5-x)	Çarpım İşareti
$-\mathrm{\infty },-3$	-	-	+	(-) * (-) * (+) = +
$-3,3$	-	+	+	(-) * (+) * (+) = -
$3,5$	+	+	+	(+) * (+) * (+) = +
$5,\mathrm{\infty }$	+	+	-	(+) * (+) * (-) = -

İlk eşitsizlik için çözüm:

$$(-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,5)$$

• İkinci eşitsizlik:
  $-x^2+x+2\le 0$
  $\Rightarrow x^2-x-2\ge 0$ (her tarafı -1 ile çarptık ve eşitsizlik yönü değişti)
  $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$
  $(x-2)(x+1)\ge 0$

İşaret tablosu:

• Kökler: $-1,2$
• Aralıklar: $(-\mathrm{\infty },-1],[-1,2],[2,\mathrm{\infty })$

İşaret:

• $(-\mathrm{\infty },-1]$: pozitif
• $(-1,2)$: negatif
• $[2,\mathrm{\infty })$: pozitif

Çözüm:

$$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [2,\mathrm{\infty })$$

• Ortak çözüm kümesi:

$$[(-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,5)]\cap [(-\mathrm{\infty },-1]\cup [2,\mathrm{\infty })]$$

• İnceleyelim:
  $(-\mathrm{\infty },-3)\cap (-\mathrm{\infty },-1]=(-\mathrm{\infty },-3)$
  $(3,5)\cap [2,\mathrm{\infty })=(3,5)$

Sonuç:

$$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,5)}}$$

---

3. Soru:

$$2<x^2-x\le 6$$

Kaç farklı tam sayı $x$ değeri vardır?

Çözüm:

• Öncelikle eşitsizliği ikiye ayıralım:

$$2<x^2-x\le 6$$

• $x^2-x>2$ ve $x^2-x\le 6$

• $x^2-x-2>0$
  $(x-2)(x+1)>0$
  İşaret tablosu:

• $x<-1$ veya $x>2$

• $x^2-x-6\le 0$
  $(x-3)(x+2)\le 0$
  İşaret tablosu:

• $-2\le x\le 3$

• İki koşulun kesişimi:

$$(x<-1\text{ veya }x>2)\cap (-2\le x\le 3)$$

• İnceleyelim:

$$(-2\le x\le 3)\cap (x<-1)=-2\le x<-1$$$$(-2\le x\le 3)\cap (x>2)=2<x\le 3$$

• Tam sayılar:
  $-2\le x<-1$ aralığında tam sayı: $-2$
  $2<x\le 3$ aralığında tam sayı: $3$

• Toplam tam sayı sayısı: 2

Cevap:

$$\boxed{{\displaystyle 2}}$$

---

4. Soru:

$$\{\begin{array}{l}x<\frac{9}{x}\\ x^2-16\le 0\end{array}$$

Çözüm:

• İkinci eşitsizliği çözelim:

$$x^2-16\le 0\Rightarrow (x-4)(x+4)\le 0$$

İşaret tablosu:

$$-4\le x\le 4$$

• İlk eşitsizlik:

$$x<\frac{9}{x}$$

$x\mathrm{\ne }0$ çünkü payda sıfır olamaz.

• Eşitsizliği tek taraflı yapalım:

$$x-\frac{9}{x}<0$$$$\frac{x^2-9}{x}<0$$

• Pay ve payda işaretlerine bakalım:

• Kökler: $x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3$

• Payda: $x$

İşaret tablosu:

Aralık	Pay $x^2-9$	Payda $x$	Bölüm İşareti
$-\mathrm{\infty },-3)$	+	-	-
$-3,0)$	-	-	+
$(0,3)$	-	+	-
$(3,\mathrm{\infty })$	+	+	+

• Bölümün negatif olduğu aralıklar:

$$(-\mathrm{\infty },-3)\cup (0,3)$$

• Ancak $x$ aralığı $[-4,4]$ ile sınırlı, ayrıca $x\mathrm{\ne }0$.

• Sonuç olarak:

$$[-4,4]\cap ((-\mathrm{\infty },-3)\cup (0,3))=[-4,-3)\cup (0,3)$$

Son çözüm kümesi:

$$\boxed{{\displaystyle [-4,-3)\cup (0,3)}}$$