11. Sınıf Matematik SDR Yayınları Cevapları Sayfa 211

 11. Sınıf Matematik SDR Yayınları Cevapları Sayfa 211

7. Soru:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+5x-y+4=0\\ x^2-y^2+3x+y+4=0\end{array}$$

Çözüm:

İki denklemi çıkaralım:

$$(x^2+y^2+5x-y+4)-(x^2-y^2+3x+y+4)=0$$$$x^2+y^2+5x-y+4-x^2+y^2-3x-y-4=0$$$$2y^2+2x-2y=0$$$$y^2+x-y=0$$

Bu ifadeyi kullanarak çözüm arayabiliriz ancak soruda çözüm kümesi seçenekleri verilmiş. Bu tür sistemlerde genellikle verilen seçeneklerden deneme yapmak daha pratiktir.

Seçenekleri deneyelim:

• A) $\{(-1,2),(-1,3)\}$
• B) $\{(1,2)\}$
• C) $\{(-4,1),(-4,4)\}$
• D) $\{(-2,-1),(-2,2)\}$
• E) $\{(2,3)\}$

Örnek olarak A şıkkından $(-1,2)$ noktasını kontrol edelim:

Birinci denklem:

$$(-1{)}^2+(2{)}^2+5(-1)-2+4=1+4-5-2+4=2\mathrm{\ne }0$$

Olmadı.

B şıkkı: $(1,2)$

Birinci denklem:

$$1+4+5(1)-2+4=1+4+5-2+4=12\mathrm{\ne }0$$

Olmadı.

C şıkkı: $(-4,1)$

Birinci denklem:

$$16+1+5(-4)-1+4=17-20-1+4=0$$

İkinci denklem:

$$16-1+3(-4)+1+4=15-12+1+4=8\mathrm{\ne }0$$

Olmadı.

D şıkkı: $(-2,-1)$

Birinci denklem:

$$4+1+5(-2)-(-1)+4=5-10+1+4=0$$

İkinci denklem:

$$4-1+3(-2)+(-1)+4=3-6-1+4=0$$

Her iki denklem sağlanıyor.

D şıkkı doğru.

---

8. Soru:

$$(3x-6)>(x-2)(x+5)$$

Çözüm:

Sağ tarafı açalım:

$$(3x-6)>(x^2+5x-2x-10)$$$$3x-6>x^2+3x-10$$

Her iki taraftan $3x$ çıkaralım:

$$-6>x^2-10$$

Her iki tarafa 10 ekleyelim:

$$4>x^2$$

Yani:

$$-2<x<2$$

Çözüm kümesi: $(-2,2)$

---

9. Soru:

$$x^2+2mx-m+6=0$$

Denklemin gerçek kökü yoksa $m$'nin alabileceği tam sayı değer sayısı kaçtır?

Çözüm:

Gerçek kök yoksa diskriminant $\mathrm{\Delta }<0$ olmalı.

$$\mathrm{\Delta }=(2m{)}^2-4\cdot 1\cdot (-m+6)=4m^2+4m-24<0$$$$4m^2+4m-24<0$$$$m^2+m-6<0$$$$(m+3)(m-2)<0$$

Bu ifade negatif olduğunda:

$$-3<m<2$$

$m$ tam sayı olduğuna göre:

$$m=-2,-1,0,1$$

Toplam 4 tam sayı değeri.

---

10. Soru:

$$(x-1)\cdot (x^2-x-6)>0$$

En küçük tam sayı değeri nedir?

Çözüm:

İlk olarak ikinci çarpanı çarpanlarına ayıralım:

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$$

Eşitsizlik:

$$(x-1)(x-3)(x+2)>0$$

Kökler: $-2,1,3$

İşaret tablosu:

• Aralıklar: $(-\mathrm{\infty },-2),(-2,1),(1,3),(3,\mathrm{\infty })$

• İşaretler:

  • $(x-1)$: negatif, negatif, pozitif, pozitif
  • $(x-3)$: negatif, negatif, negatif, pozitif
  • $(x+2)$: negatif, pozitif, pozitif, pozitif

Çarpım işaretleri:

Aralık	İşaret
$-\mathrm{\infty },-2)$	(-)(-)(-) = -
$-2,1)$	(-)(-)(+) = +
$(1,3)$	(+)(-)(+) = -
$(3,\mathrm{\infty })$	(+)(+)(+) = +

Eşitsizliği sağlayan aralıklar:

$$(-2,1)\cup (3,\mathrm{\infty })$$

En küçük tam sayı değeri: $-1$

---

11. Soru:

$$\frac{x-2}{x^2+2x+1}>0$$

En büyük negatif tam sayı nedir?

Çözüm:

Payda:

$$x^2+2x+1=(x+1{)}^2$$

Her zaman pozitif veya sıfırdır, ancak sıfırda tanımsızdır.

Eşitsizlik:

$$\frac{x-2}{(x+1{)}^2}>0$$

Paydanın karesi pozitif olduğu için işaret sadece paya bağlıdır.

$$x-2>0\Rightarrow x>2$$

Negatif tam sayı yok.

Ancak seçeneklerde negatif tam sayılar var, en büyük negatif tam sayı deneniyor.

Ama eşitsizlik sadece $x>2$ için sağlanıyor.

Bu durumda eşitsizliği sağlayan negatif tam sayı yok.

---

12. Soru:

$$x-12<\frac{13}{x}$$

Kaç tane $x$ doğal sayısı sağlar?

Çözüm:

Eşitsizliği düzenleyelim:

$$x-12-\frac{13}{x}<0$$$$\frac{x^2-12x-13}{x}<0$$

Pay:

$$x^2-12x-13=0$$

Kökler:

$$x=\frac{12\pm \sqrt{144+52}}{2}=\frac{12\pm \sqrt{196}}{2}=\frac{12\pm 14}{2}$$$$x_1=13,x_2=-1$$

İşaret tablosu:

• Aralıklar: $(-\mathrm{\infty },-1),(-1,0),(0,13),(13,\mathrm{\infty })$

• Payda: $x$

İşaretler:

Aralık	Pay İşareti	Payda İşareti	Bölüm İşareti
$-\mathrm{\infty },-1)$	+	-	-
$-1,0)$	-	-	+
$(0,13)$	-	+	-
$(13,\mathrm{\infty })$	+	+	+

Eşitsizliği sağlayan aralıklar:

$$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (0,13)$$

Doğal sayılar pozitif tam sayılar olduğundan,

$$x\in \{1,2,\dots ,12\}$$

Toplam 12 doğal sayı.

---

13. Soru:

$$x\cdot (2-x)\cdot (x+1)\ge 0$$

Çözüm kümesi nedir?

Çözüm:

Kökler:

$$x=0,x=2,x=-1$$

İşaret tablosu:

• Aralıklar: $(-\mathrm{\infty },-1),(-1,0),(0,2),(2,\mathrm{\infty })$

İşaretler:

Aralık	$x$	$2-x$	$x+1$	Çarpım İşareti
$-\mathrm{\infty },-1)$	-	+	-	(+)
$-1,0)$	-	+	+	(-)
$(0,2)$	+	+	+	(+)
$(2,\mathrm{\infty })$	+	-	+	(-)

Eşitsizliği sağlayan aralıklar ve kökler dahil:

$$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [0,2]$$

---

14. Soru:

$0<a<1<b<c$ ve

$$b{x}^2+ax+c>0$$

Çözüm kümesi nedir?

Çözüm:

Bu tür sorularda genellikle çözüm kümesi tüm reel sayılar olur çünkü $a,b,c$ pozitif ve belirli sıralamada.

Doğru cevap:

$$\mathbb{R}$$

---

15. Soru:

$$\frac{2x^2+7x+6}{x^2+3x+2}\le 0$$

Çözüm kümesi nedir?

Çözüm:

Pay ve payda çarpanlarına ayıralım:

• Pay:

$$2x^2+7x+6=(2x+3)(x+2)$$

• Payda:

$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$

Eşitsizlik:

$$\frac{(2x+3)(x+2)}{(x+1)(x+2)}\le 0$$

$(x+2)$ hem payda hem payda var, sadeleştirelim (ama $x\mathrm{\ne }-2$):

$$\frac{2x+3}{x+1}\le 0,x\mathrm{\ne }-2$$

Kökler:

$$2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$$$$x+1=0\Rightarrow x=-1$$

İşaret tablosu:

Aralık	$2x+3$	$x+1$	Bölüm İşareti
$(-\mathrm{\infty },-\frac{3}{2})$	-	-	+
$(-\frac{3}{2},-1)$	+	-	-
$(-1,\mathrm{\infty })$	+	+	+

Eşitsizliği sağlayan aralık:

$$[-\frac{3}{2},-1)$$