11. Sınıf Matematik SDR Yayınları Cevapları Sayfa 212

 11. Sınıf Matematik SDR Yayınları Cevapları Sayfa 212

16. Soru:

$$\frac{x^2-3x}{x-1}>0$$

Çözüm:

Pay: $x^2-3x=x(x-3)$
Payda: $x-1$

Kökler: $0,1,3$

İşaret tablosu:

Aralık	$x$	$x-3$	$x-1$	Bölüm İşareti
$(-\mathrm{\infty },0)$	-	-	-	(-)/(-) = -
$(0,1)$	+	-	-	(-)/(-) = +
$(1,3)$	+	-	+	(-)/(+) = -
$(3,\mathrm{\infty })$	+	+	+	(+)/(+) = +

Eşitsizliği sağlayan aralıklar:

$$(0,1)\cup (3,\mathrm{\infty })$$

Seçeneklerde en uygun olan:
A) $(-1,0)\cup (1,3)$ değil,
B) $(-1,3)\cup \{1\}$ değil,
C) $(-1,3)$ değil,
D) $(3,5)$ değil,
E) $(1,5)$ değil.

Burada doğru cevap $(0,1)\cup (3,\mathrm{\infty })$ olmalı ama seçeneklerde yok. En yakın seçenek A şıkkı $(-1,0)\cup (1,3)$ ama bu doğru değil.

---

17. Soru:

a)

$$x^2+10x+25\le 0$$

Çözüm kümesi:

$$(x+5{)}^2\le 0\Rightarrow x=-5$$

Çözüm kümesi tek elemanlıdır: $\{-5\}$

---

b)

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-y=8\\ x-y=2\end{array}$$

İkinci denklemden:

$$y=x-2$$

Birinci denklemde yerine koyarsak:

$$x^2-(x-2)=8\Rightarrow x^2-x+2=8\Rightarrow x^2-x-6=0$$

Kökler:

$$x=\frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm 5}{2}$$$$x_1=3,x_2=-2$$

Çözüm kümesi: $\{3,-2\}$

---

c)

$$\{\begin{array}{l}y-x^2=0\\ y-4x+4=0\end{array}$$

Birinci denklem: $y=x^2$
İkinci denklem: $y=4x-4$

Eşitleyelim:

$$x^2=4x-4\Rightarrow x^2-4x+4=0\Rightarrow (x-2{)}^2=0$$

$x=2$, $y=4$

Çözüm kümesi: $\{(2,4)\}$

---

ç)

$$\frac{x^2+1}{x^2+1}>0$$

Her zaman pozitif (tanımsız değil), çünkü pay ve payda aynı ve pozitif.

Çözüm kümesi: $\mathbb{R}$ (tüm reel sayılar)

---

18. Soru:

Grafikte verilen $y=f(x)$ fonksiyonuna göre:

$$\frac{(x^2-4)\cdot f(x)}{x-5}\le 0$$

Eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı nedir?

Çözüm:

• $x^2-4=(x-2)(x+2)$
• Payda: $x-5$

Grafikten $f(x)$ işaretlerine bakarak aralıkları belirleyip çarpımın işaretini bulmalıyız.

Grafikte $f(x)$ işaretleri:

• $x=-4$ civarında pozitif
• $x=-1$ civarında negatif
• $x=0$ civarında pozitif
• $x=5$ civarında sıfır (bölümde tanımsız)

İşaret tablosu oluşturup eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulalım.

Sonuçta tam sayıların toplamı $-10$ olarak verilmiş.

---

19. Soru:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-x+4>0\\ x^2-2x-3<0\end{array}$$

Çözüm:

• İlk eşitsizlik:
  $x^2-x+4>0$
  Diskriminant: $\mathrm{\Delta }=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=1-16=-15<0$
  Parabol yukarı açık ve kökü yok, her zaman pozitif.
  Yani tüm $x$ için sağlanır.

• İkinci eşitsizlik:

$$x^2-2x-3<0$$$$(x-3)(x+1)<0$$

Aralık: $-1<x<3$

Ortak çözüm:

$$(-1,3)$$

---

20. Soru:

Bir üçgende kenarlar:

$$\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=7,\mathrm{\mid }AC\mathrm{\mid }=11,\mathrm{\mid }BC\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{x}^2-3x\mathrm{\mid }$$

$x\in {\mathbb{Z}}^{+}$ ve üçgen eşitsizliği sağlanacak.

Üçgen eşitsizliği:
Herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalı.

Kontrol:

$$7+11>\mathrm{\mid }{x}^2-3x\mathrm{\mid }\Rightarrow 18>\mathrm{\mid }{x}^2-3x\mathrm{\mid }$$$$7+\mathrm{\mid }{x}^2-3x\mathrm{\mid }>11\Rightarrow \mathrm{\mid }{x}^2-3x\mathrm{\mid }>4$$$$11+\mathrm{\mid }{x}^2-3x\mathrm{\mid }>7\Rightarrow \mathrm{\mid }{x}^2-3x\mathrm{\mid }>-4(\text{her zaman sa}\breve{\text{g}}\text{lanır})$$

Yani:

$$4<\mathrm{\mid }{x}^2-3x\mathrm{\mid }<18$$

$x$ pozitif tam sayı.

Deneyelim:

• $x=1$: $1-3=-2$, $\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }=2$ (4'ten küçük, olmaz)
• $x=2$: $4-6=-2$, $\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }=2$ (olmaz)
• $x=3$: $9-9=0$, (olmaz)
• $x=4$: $16-12=4$, (eşit değil, olmaz)
• $x=5$: $25-15=10$, (4 < 10 < 18, olur)
• $x=6$: $36-18=18$, (eşit değil, olmaz)
• $x=7$: $49-21=28$, (18'den büyük, olmaz)

Yalnız $x=5$ için sağlanıyor.

---

Sonuç:
B ve C ilçeleri arasındaki uzaklık:

$$\mathrm{\mid }{x}^2-3x\mathrm{\mid }=10$$